“几何矿工”顾险峰：数学到现实世界的折返之途有多远？

　　8月12日凌晨4点左右，顾险峰乘坐的CA990航班降落在了首都国际机场，每年暑期，顾险峰都会从纽约飞回北京，在清华大学丘成桐数学中心进行为期3个月左右的授课。

　　顾险峰，美国纽约州立大学石溪分校计算机系和应用数学系的终身教授,哈佛大学数学科学与应用中心兼职教授，清华大学丘成桐数学科学中心客座教授，晨兴数学奖获得者，华人微分几何大师丘成桐的学生。

　　在纽约飞往北京的13个小时中，顾险峰一直与一个与三维流形矢量丛示性类的数学问题较劲，过程煎熬、思路未明，用他的话说是“抓耳挠腮”。

　　对于其数学本质的理解有可能带来工业建模效率的极大提高，也恰是3D打印急需突破的技术节点。

　　此前顾险峰已经获得了解决“曲面”该类问题的数学工具——于19世纪上半叶发展起来的阿贝尔定理。现在，顾险峰想要将其推广到三维流形上面。

　　“可能还需要再研究4、5年吧”，顾险峰说。

　　顾险峰喜欢音乐，在清华求学期间，他是校军乐队的圆号手——顾险峰嘴唇薄薄的，适合吹圆号。

　　最近一段时间，顾险峰会看一档叫做《乐队的夏天》的综艺节目，他对刺猬乐队的一句歌词印象深刻，原歌词是“一代人终将老去，但总有人正在年轻”，顾险峰记成了“我们正在老去，但总有人正在年轻”。

　　不说话的时候，顾险峰看起来像带着笑意，当面交流时，显得随和，但他在自己的社交平台号上，却时不时会在留言处和读者争论几句。

　　“故弄玄虚让人看不懂”，一篇顾险峰的文章下，读者留言道。

　　“创造力符合自然规律，这些规律就是几何”，顾险峰回道。

　　深爱几何的顾险峰并非数学专业出身，清华就学期间顾险峰的专业是计算机理论，在此后的从业过程中，顾险峰也并非专注于基础数学的理论研究。

　　作为应用数学家的顾险峰扮演着一个“矿工”的角色，他需要在现实世界中发现问题，看清楚它的数学本质，然后回到几何这座“矿山”，在数百年积攒的理论中寻找解决问题的数学工具——这个过程并不如这段描述般容易，可能需要5年甚至更长的时间。

　　人工智能、3D打印、5G等一系列新型技术浪潮的兴起让工程界对于顾险峰们的需求达到了高峰，这些技术浪潮不仅本身的兴起即有赖于理论数学提供的工具，同时其瓶颈的突破也需要更多理论支撑。

　　“我是这么觉得的，一项工艺或者技术能够有效，能够禁得起时间的考验，它背后一定是符合某种自然规律的，天然属于数学的一部分”，顾险峰说。

　　两位菲尔兹奖获得者的学生

　　2018年11月22日，顾险峰应邀前往朋友位于纽约长岛海边的豪宅参加感恩节聚会，宴会的主菜是烤火鸡配蓝莓酱，顾险峰则带去了老家特产东北大拉皮。

　　在美国时，顾险峰并不常参加聚会，讲课和写论文外，大部分都被他用来发呆和思考，连散步、除草、刷碗的时候都在想，有的时候连续一个月也和别人说不上几句话。

　　这已经是顾险峰在美国的第24年。

　　1995年顾险峰赴哈佛攻读计算机科学博士学位，他的导师是一位英国贵族David Mumford，在哈佛任职期间，David Mumford坚持不要一分钱工资。

　　1974年David Mumford曾因其在代数几何中的贡献而获得数学界最高奖项菲尔兹奖。神奇的是，David Mumford在获得菲尔兹奖之后便将所有数学方面的书籍全部扔掉，彻底投身计算机视觉领域的研究，而他抛弃的最终成为了顾险峰投身的研究领域。

　　在顾险峰进入哈佛不久后，David Mumford就因为个人事宜离开了哈佛大学，并把顾险峰托付给了另一位菲尔兹奖获得者。

　　这位准导师秉持着一种有教无类的风格，不论求教者是否背景出身如何，只要有心向学、并且能够问出深刻的问题，这位老师都愿意去教。

　　幸运的是，顾险峰此前在参加麻省理工人工智能实验室的一门机器视觉课程，偶然听到了一个问题：“如何用高斯曲率来重建曲面？”，顾险峰觉得这是一个很好问题，在与准导师见面的时候，顾险峰抛出了这个问题，获得了准导师的认可。

　　由于研究领域转换带来的短期不适和对个人人生道路的疑惑，在更换了导师后，顾险峰曾经度过了一段相当苦闷的日子。

　　“当时就不知道出路在哪里，有一些去硅谷工作的同学来看我，眼神都是充满同情的，特别压抑”，顾险峰说。

　　当时，顾险峰住在地下室，房间里唯一的窗户在地平面上，波士顿冬天的大雪厚厚地压了下来。

　　展平新世界

　　顾险峰的新导师叫做丘成桐。

　　丘成桐，原籍广东梅州，几何分析学派奠基人，华人数学家。

　　丘成桐所研究的领域是微分几何，这是一个以微积分理论研究空间几何性质的数学流派。在物理的几何化进程中，物理现象经常由微分几何来描述并解释，例如引力被解释成空间弯曲。由此，微分几何经常被用来描述更为复杂的空间结构，甚至是尚无法观测的高维空间。

　　丘成桐先生曾经证明卡拉比猜想，从而构造出卡拉比-丘空间。后来，物理学家为了统一广义相对论和量子力学发展出了超弦理论，超弦理论断言，宇宙是十维的，四维时空中的每一点处都有一个六维的卡拉比-丘空间作为纤维。这一理论被尝试用以解释宇宙大爆炸、黑洞的内部结构。由此，“卡拉比-丘流形”也无心插柳地成为了物理弦论的数学基础之一。

　　在20世纪末，伴随着图形处理卡(GPU)的出现，人类社会开始拥有构建虚拟世界的能力，其中涉及大量三维的几何设计和物理仿真。其中面临的一个难题是：如何在虚拟空间内将“曲面”展平，即曲面参数化问题——对这个问题的解决能够让虚拟世界更逼近于真实世界，比如电子游戏中的纹理贴图技术，实现三维人物服饰设计和皮肤模拟。

　　拥有计算机和数学两重学术背景的顾险峰在一次图形学术会议中听到了对这一问题的讨论，当时局部曲面参数化已近解决，但是曲面全局参数化成为瓶颈。

　　陈省身先生曾经创立了全局微分几何，作为陈先生的徒孙，顾险峰意识到应该存在全局参数化方法。为了弄清这一问题的数学本质，2000年一天，顾险峰在丘成桐的办公室内向他请教了这一问题的数学本质。

　　丘成桐在一块黑板上阐述了一个来自于60年代的数学定理：阿蒂亚-辛格指标定理，这是连接着微分几何、分析和拓扑学的基本定理，运用其证明思路，可以用全纯一次微分对曲面进行全局参数化。

　　“酣畅淋漓”、“深邃精妙”、“美轮美奂”，在此后一篇为丘成桐七十年寿辰所写的文章中，顾险峰连用了这三个词形容那一天的感受。

　　顾险峰和丘成桐这次谈话数年后无意间对于医学检测行业带来了一次改变——直肠癌检测。

　　直肠癌从息肉到癌变的周期较长，通过肠镜检查可以发现病变及时治疗。但是传统光学肠镜需要全身麻醉，对于老年人等肠壁较薄的人群也有一定风险。

　　诞生于70年代的CT技术可以在虚拟世界重建肠道曲面，从而避免医生和病人的肢体接触，减少诊察中的侵犯性，较好地规避传统光学肠镜的潜在风险。肠道的几何形状有很多扭曲，肠道的大量褶皱中有可能隐藏息肉，为了让检测准确，需要在虚拟世界中进行肠道“摊平”，将所有皱褶中的病灶暴露给医生。

　　在数学问题本质上，肠道的“摊平”与给一个三维游戏人物皮肤纹理贴图并没有太大的区别，此前顾险峰研究的算法派上了用场，在与其他数学工具组合的基础上，顾险峰形成了一整套虚拟肠镜的算法，这个算法后来成为西门子、GE等公司相关产品的基础。

　　直到现在，抓住机会顾险峰还会去看一看自己的研究突破是不是已经在医院大范围应用。

　　“我经常会扮演翻译的角色，发现工程领域的问题，然后去寻找它的数学本质；找到后，在把数学工具转化成计算机领域能用的算法”，顾险峰说。

　　尽管只是轻描淡写的一句话，但是在数学世界和计算机间世界的一次折返，需要跨越离散世界和连续世界的“天堑”——传统的微分几何需要曲面具有微分结构，而计算机中的数据结构都是离散的，微积分等传统数学工具无法直接应用——而这，往往需要耗费数年的时间。

　　痛与美

　　1989年，顾险峰考入清华大学计算机科学与技术系，彼时清华该专业尝试用数学、计算机双专业同时授课的模式。

　　顾险峰还记得当时的数学分析课的老师是一位刚刚从内蒙古边陲被清华召回来的老教授，这位老教授直接选用了莫斯科大学数学系的教材，教材都是由这位教授亲自翻译、手刻油印而成。

　　前苏联高中数学难度、深度远高于国内，一班人学得异常辛苦，顾险峰还记得同班女生寝室经常会发生这样的事情：深夜熄灯之后，大家秉烛夜读，一个人学着学着就开始啜泣，最后变成一个宿舍集体嚎啕大哭。

　　17个人的班级中有4位很快逃离了战场，转了专业，剩余的一部分则义无反顾地冲入了90年代初中关村涌起的第一波计算机创业浪潮中。

　　顾险峰的一位大学同学提到，已经鲜有同学能看懂顾险峰目前的论文了。“大家都是看看文字，看到公式就划过去了”，这位同学说道。

　　数学路漫漫，即使是走向现实的那一条。

　　青年时期的顾险峰时常会感觉到受挫和不忿，曾有一次顾险峰和丘成桐找到了一个可以解决工程问题的数学理论，在发布前，他们认为会引起巨大的轰动，但是发布后却像石头丢入水塘般，应者寥寥。

　　工程界对于数学的理解是需要时间的，一项新的数学理论到最终带来现实的影响往往要经历一个寂寞的过程，几年甚至几十年。

　　“隔了几年，这个理论最终被加州的一个团队重新发现，他们基于此设计了一套算法，应用很广泛，但是就和我们就没什么关系了”，顾险峰说。

　　直至现在，顾险峰还经常会感觉到焦虑，一些问题的数学本质他模模糊糊地感觉到了，但是始终点不破最后一层窗，就这么隐隐绰绰地放浮在脑中。“一想到全世界有那么多牛人都在考虑这个问题，有时候就会睡不着”，顾险峰说。

　　早些年，顾险峰会用音乐派遣这种苦闷，在波士顿的地下室里顾险峰吹的是萨克斯，在清华校园里，顾险峰吹的是单簧管和圆号。

　　顾险峰喜欢音乐，他觉得音乐和数学一样体现了人类的智慧和美感。

　　顾险峰偶尔会用极为浪漫的语言描述与数学相关的一切，描述那个由人类智慧结晶构成的理论“矿山”。

　　他觉得即将投入使用的北京大兴国际机场是美的，因为机场所采用结构脱胎于黎曼几何，突破了传统建筑采用欧几里得几何的范式；他觉得苏州园林的门窗雕花是美的，因为里面应用了各种平面对称；他还在一篇文章中详细阐述过咖啡拉花背后的几何变化规律。

　　“每一位年轻人都曾有过刹那的顿悟，那一刻他或她的灵魂被高斯和陈省身的灵魂所纠缠折磨，久久颤栗”，顾险峰在自己的一篇文章中写道。

　　在20世纪30年代，美籍奥地利数学家、逻辑学家哥德尔曾经提出过一项“不完备性定理”——即任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假；这一定理对于理论数学界产生了巨大的冲击：它意味着无数数学家曾经向往的能够解释一切、统合一切的“完备理论”，在逻辑上有可能是不存在的，数学“终极之美”在一些研究者心中轰然倒坍。

　　但顾险峰相信，如果深入到每一个实际问题中，依然可以找到数学的自洽和完备，“大自然是很神奇的，如果是好用的、经得起时间考验的东西，背后一定有什么数学规律”，顾险峰说。

　　“你，自然，是我的女神，我对你的规律所做的贡献毕竟是有限的”，19世纪的数学家高斯写道。

　　傻气

　　顾险峰每年暑假都会往返于北京和纽约。

　　暑假期间，顾险峰会在清华丘成桐数学研究中心带课，教授相关数学课程。每一年都会有大量各行各业的人来听课，一些人坐着火车从天津、武汉赶来，也有一些人已经坚持听课5、6年。

　　今年，顾险峰碰到了一个搞金融发了财的数学家，他找到顾险峰想捐上千万元，就是希望能找到一个帮助提高投资收益的算法。

　　“现在华尔街的交易员都快失业了，成批成批的公司开始用算法进行交易，效果很好”，顾险峰观察到了这一变化。

　　在20世纪，数学与现实世界的交集如蜻蜓点水般的偶然出现，而在新世纪，计算机技术的发展让整个工程界对于数学工具的需求变得格外旺盛，特别是基于深度学习的人工智能浪潮兴起后——深度学习算法的成型得益于大量数据、强大硬件和先进算法的出现——一夕间，人们突然发现，原来数学真的这么有用。

　　任正非说“华为至少有700个数学家”，马化腾说“基础科学是技术进步的基石”，科技智库“甲子光年”的则直接写道“时代呼唤数学家”。

　　顾险峰认为这是一个历史的必然，技术发展的关键在于数学、物理等基础层面的突破，而中国发展到今天需要真正的技术创新。

　　与美国不同，顾险峰在北京的日子过的很热闹。

　　北京的应酬很多，顾险峰需要重新开始学习喝酒应该怎么喝，先敬谁、后敬谁，顺时针还是逆时针，对他而言，这个可能比数学定理更困难一些。